ID:
20121
Dettaglio:
SSD: ANALISI MATEMATICA
Durata: 72
CFU: 9
Sede:
DALMINE
Url:
INGEGNERIA DELLE TECNOLOGIE PER LA SOSTENIBILITÀ ENERGETICA E AMBIENTALE/PERCORSO COMUNE Anno: 1
Anno:
2024
Course Catalogue:
Dati Generali
Periodo di attività
Primo Semestre (16/09/2024 - 23/12/2024)
Syllabus
Obiettivi Formativi
Al termine del corso lo studente possederà una buona padronanza dei metodi e delle tecniche proprie dell’analisi matematica, della geometria e dell'algebra lineare. In particolare, sarà in grado di:
1. calcolare limiti e derivate, utilizzare questi strumenti per studiare il comportamento di una funzione reale di variabile reale e tracciarne quindi un grafico qualitativo;
2. utilizzare le principali tecniche per la determinazione della primitiva di una funzione e calcolare quindi integrali definiti;
3. usare le nozioni basilari dei numeri complessi e dell’algebra lineare;
4. applicare l’algebra lineare allo studio della geometria in tre dimensioni.
Al fine di conoscere le potenzialità e i limiti degli strumenti precedentemente descritti lo studente avrà inoltre una piena consapevolezza dei loro fondamenti teorici e saprà esprimerli con un linguaggio adeguato.
1. calcolare limiti e derivate, utilizzare questi strumenti per studiare il comportamento di una funzione reale di variabile reale e tracciarne quindi un grafico qualitativo;
2. utilizzare le principali tecniche per la determinazione della primitiva di una funzione e calcolare quindi integrali definiti;
3. usare le nozioni basilari dei numeri complessi e dell’algebra lineare;
4. applicare l’algebra lineare allo studio della geometria in tre dimensioni.
Al fine di conoscere le potenzialità e i limiti degli strumenti precedentemente descritti lo studente avrà inoltre una piena consapevolezza dei loro fondamenti teorici e saprà esprimerli con un linguaggio adeguato.
Prerequisiti
1. Geometria euclidea del piano: in particolare, i criteri di uguaglianza e di similitudine dei triangoli, i teoremi di Euclide e di Pitagora, le proprietà elementari dei poligoni e dei cerchi. Corrispondenza tra i numeri reali e i punti di una retta; intervalli, semirette; piano cartesiano; distanza tra due punti nel piano. Luoghi geometrici elementari del piano: retta (condizioni di parallelismo e di perpendicolarità), circonferenza, ellisse, parabola ed iperbole.
2. Equazioni e disequazioni di primo e di secondo grado; sistemi di equazioni e di disequazioni.
3. Potenze con esponente naturale, proprietà delle potenze. Polinomi: divisibilità, regola di Ruffini, radici, fattorizzazione. Potenze con esponente razionale o reale: grafico e principali proprietà. Funzione esponenziale e logaritmica: grafici e principali proprietà.
4. Equazioni e disequazioni irrazionali, esponenziali, logaritmiche e con valore assoluto.
5. Trigonometria: misura in radianti di un angolo; identità e relazioni fondamentali, angoli notevoli; grafici di seno, coseno, tangente; equazioni e disequazioni con funzioni trigonometriche.
6. Funzioni reali di variabile reale: dominio, codominio, grafico; intersezioni tra grafici. La funzione valore assoluto; grafico di f(-x), di f(|x|), di |f(x)|, di f(x+c), di f(x)+c. Funzioni pari, dispari, periodiche.
2. Equazioni e disequazioni di primo e di secondo grado; sistemi di equazioni e di disequazioni.
3. Potenze con esponente naturale, proprietà delle potenze. Polinomi: divisibilità, regola di Ruffini, radici, fattorizzazione. Potenze con esponente razionale o reale: grafico e principali proprietà. Funzione esponenziale e logaritmica: grafici e principali proprietà.
4. Equazioni e disequazioni irrazionali, esponenziali, logaritmiche e con valore assoluto.
5. Trigonometria: misura in radianti di un angolo; identità e relazioni fondamentali, angoli notevoli; grafici di seno, coseno, tangente; equazioni e disequazioni con funzioni trigonometriche.
6. Funzioni reali di variabile reale: dominio, codominio, grafico; intersezioni tra grafici. La funzione valore assoluto; grafico di f(-x), di f(|x|), di |f(x)|, di f(x+c), di f(x)+c. Funzioni pari, dispari, periodiche.
Metodi didattici
La didattica è composta da lezioni frontali e da esercitazioni (per un totale di 72 ore), affiancate dal tutorato (18 ore). In tutte e tre le attività lo studente è stimolato a partecipare con suggerimenti e proposte. Qualora l'insegnamento venisse impartito in modalità mista o a distanza, potranno essere introdotte modifiche rispetto a quanto dichiarato nel syllabus per rendere il corso e gli esami fruibili anche
secondo queste modalità.
secondo queste modalità.
Verifica Apprendimento
La prova d’esame vuole verificare il raggiungimento da parte dello studente degli obiettivi formativi precedentemente descritti. In particolare:
- padronanza dei metodi e delle tecniche sviluppate nel corso;
- consapevolezza dei loro fondamenti teorici;
- adeguatezza del linguaggio utilizzato.
La prova d’esame, che può essere sostenuta solo dagli studenti che hanno assolto l’OFA in matematica, è divisa in una parte pratica e in una parte teorica. Nell’attribuzione del punteggio si tiene conto della correttezza, della chiarezza e della capacità di giustificare le conclusioni raggiunte. In alternativa alla modalità d’esame precedentemente descritta, per quanto riguarda la sola parte pratica, gli studenti possono svolgere due prove in itinere. Possono accedere alla prima prova in itinere anche gli studenti che non hanno ancora assolto l’OFA in matematica. L’accesso alla seconda prova in itinere, che si svolgerà in corrispondenza del primo appello di gennaio o di quello di febbraio, richiede obbligatoriamente di aver assolto l’OFA.
- padronanza dei metodi e delle tecniche sviluppate nel corso;
- consapevolezza dei loro fondamenti teorici;
- adeguatezza del linguaggio utilizzato.
La prova d’esame, che può essere sostenuta solo dagli studenti che hanno assolto l’OFA in matematica, è divisa in una parte pratica e in una parte teorica. Nell’attribuzione del punteggio si tiene conto della correttezza, della chiarezza e della capacità di giustificare le conclusioni raggiunte. In alternativa alla modalità d’esame precedentemente descritta, per quanto riguarda la sola parte pratica, gli studenti possono svolgere due prove in itinere. Possono accedere alla prima prova in itinere anche gli studenti che non hanno ancora assolto l’OFA in matematica. L’accesso alla seconda prova in itinere, che si svolgerà in corrispondenza del primo appello di gennaio o di quello di febbraio, richiede obbligatoriamente di aver assolto l’OFA.
Contenuti
1 I NUMERI
Insiemi. Sommatorie, progressione geometrica. I numeri reali. Massimo e minimo. Estremo superiore ed estremo inferiore. Potenze e radicali. Esponenziali e logaritmi. Numeri complessi. Funzioni.
2 ELEMENTI DI GEOMETRIA E ALGEBRA LINEARE
Vettori nel piano e nello spazio. Geometria analitica lineare nello spazio. Lo spazio R^n. Matrici.
3 SUCCESSIONI E SERIE
Successioni convergenti, divergenti e irregolari; successioni monotone; calcolo dei limiti. Serie convergenti, divergenti e irregolari; criteri di convergenza di una serie.
4 FUNZIONI DI UNA VARIABILE: LIMITI E CONTINUITÀ
Grafico di una funzione; funzioni limitate, simmetriche, monotone, periodiche. Limiti, continuità e asintoti di una funzione. Funzioni composte e inverse.
5 CALCOLO DIFFERENZIALE PER FUNZIONI DI UNA VARIABILE
Derivata di una funzione. Regole di calcolo delle derivate. Punti stazionari, massimi e minimi locali, teorema del valor medio (o di Lagrange), test di monotonia, ricerca di massimi e minimi, il teorema di de l’Hospital. Derivate seconda, concavità e convessità. Studio del grafico di una funzione. Calcolo differenziale e approssimazioni: il simbolo di “o piccolo”, la formula di Taylor-MacLaurin con resto secondo Peano e con resto secondo Lagrange.
6 CALCOLO INTEGRALE PER FUNZIONI DI UNA VARIABILE
L’integrale come limite di somme. Il teorema fondamentale del calcolo integrale. Calcolo di integrali indefiniti e definiti: per scomposizione, per sostituzione e per parti. Funzioni integrali; secondo teorema fondamentale del calcolo integrale.
Insiemi. Sommatorie, progressione geometrica. I numeri reali. Massimo e minimo. Estremo superiore ed estremo inferiore. Potenze e radicali. Esponenziali e logaritmi. Numeri complessi. Funzioni.
2 ELEMENTI DI GEOMETRIA E ALGEBRA LINEARE
Vettori nel piano e nello spazio. Geometria analitica lineare nello spazio. Lo spazio R^n. Matrici.
3 SUCCESSIONI E SERIE
Successioni convergenti, divergenti e irregolari; successioni monotone; calcolo dei limiti. Serie convergenti, divergenti e irregolari; criteri di convergenza di una serie.
4 FUNZIONI DI UNA VARIABILE: LIMITI E CONTINUITÀ
Grafico di una funzione; funzioni limitate, simmetriche, monotone, periodiche. Limiti, continuità e asintoti di una funzione. Funzioni composte e inverse.
5 CALCOLO DIFFERENZIALE PER FUNZIONI DI UNA VARIABILE
Derivata di una funzione. Regole di calcolo delle derivate. Punti stazionari, massimi e minimi locali, teorema del valor medio (o di Lagrange), test di monotonia, ricerca di massimi e minimi, il teorema di de l’Hospital. Derivate seconda, concavità e convessità. Studio del grafico di una funzione. Calcolo differenziale e approssimazioni: il simbolo di “o piccolo”, la formula di Taylor-MacLaurin con resto secondo Peano e con resto secondo Lagrange.
6 CALCOLO INTEGRALE PER FUNZIONI DI UNA VARIABILE
L’integrale come limite di somme. Il teorema fondamentale del calcolo integrale. Calcolo di integrali indefiniti e definiti: per scomposizione, per sostituzione e per parti. Funzioni integrali; secondo teorema fondamentale del calcolo integrale.
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