La parola chiave del corso è la multidimensionalità. Dopo aver studiato, nel corso di Analisi 1, fenomeni caratterizzati da una sola variabile indipendente e da una sola variabile dipendente, lo studente verrà introdotto a situazioni, più realistiche, in cui il numero delle variabili in gioco è maggiore di uno. In questo corso egli studierà solo il caso lineare, mentre lo studio del caso non lineare sarà affrontato nel corso di Analisi 2. Alla fine del corso lo studente possederà le nozioni basilari dei numeri complessi e dell’algebra lineare; saprà applicare l’algebra lineare alla risoluzione dei sistemi lineari e allo studio della geometria in tre dimensioni.
Prerequisiti
Geometria euclidea del piano: in particolare, i criteri di uguaglianza e di similitudine dei triangoli, i teoremi di Euclide e di Pitagora, le proprietà elementari dei poligoni e dei cerchi. Corrispondenza tra i numeri reali e i punti di una retta; intervalli, semirette; piano cartesiano; distanza tra due punti nel piano. Luoghi geometrici elementari del piano: retta (condizioni di parallelismo e di perpendicolarità), circonferenza, ellisse, parabola ed iperbole. Potenze con esponente naturale, proprietà delle potenze; polinomi: divisibilità, regola di Ruffini, radici, fattorizzazione. Trigonometria: misura in radianti di un angolo, identità e relazioni fondamentali.
Metodi didattici
La didattica è composta da lezioni frontali (40 ore), da esercitazioni (12 ore) e dal tutorato (12 ore). In tutte e tre le attività lo studente è stimolato a partecipare con suggerimenti e proposte. Qualora l'insegnamento venisse impartito in modalità mista o a distanza, potranno essere introdotte modifiche rispetto a quanto dichiarato nel syllabus per rendere il corso e gli esami fruibili anche secondo queste modalità.
Verifica Apprendimento
La prova d’esame vuole verificare il raggiungimento da parte dello studente degli obiettivi formativi precedentemente descritti. In particolare: - padronanza dei metodi e delle tecniche sviluppate nel corso - consapevolezza dei loro fondamenti teorici - adeguatezza del linguaggio utilizzato. La prova d’esame, che può essere sostenuta solo dagli studenti che hanno assolto l’OFA in matematica, si divide in due parti: parte A e parte B. La parte A è una prova a risposta multipla costituita da 10 domande di natura teorica oppure pratica. Ad ogni risposta corretta è attribuito 1 punto, ad ogni risposta errata è attribuito -1/3. Potrà essere stabilita una soglia minima per l’accesso alla parte B. Nel caso, ciò verrà segnalato sulla pagina web del corso. La parte B consiste nella risoluzione di alcuni esercizi e nella esposizione di alcuni argomenti teorici. Nell’attribuzione del punteggio si tiene conto della correttezza, della chiarezza e della capacità di giustificare le conclusioni raggiunte. Il voto finale è la somma dei voti conseguiti nella parte A e nella parte B. Gli studenti del primo anno, in alternativa alle modalità d’esame precedentemente descritte, possono sostenere l’esame tramite due prove in itinere. Possono accedere alla prima prova in itinere anche gli studenti che non hanno ancora assolto l’OFA in matematica. L’accesso alla seconda prova in itinere, che si svolgerà in corrispondenza al primo appello di giugno, richiede obbligatoriamente di aver assolto l’OFA. L’esame risulta superato se entrambe le prove in itinere sono sufficienti.
Contenuti
1) Numeri complessi Somma, prodotto, coniugato, modulo, inverso e quoziente. Rappresentazione nel piano. Parte reale e parte immaginaria. Forma trigonometrica. Potenza e radice N-esima di un numero complesso. Teorema fondamentale dell’algebra. 2) Vettori e matrici Lo spazio R^n e le sue operazioni: somma, prodotto per uno scalare, prodotto scalare. Matrici. Operazioni sulle matrici: somma, prodotto per uno scalare, prodotto di matrici. Matrici simmetriche, triangolari e diagonali. Determinante. Significato geometrico del determinante. Matrice inversa. Vettori tridimensionali: prodotto vettoriale, prodotto misto e loro significato geometrico. Caratteristica (o rango) di una matrice. Metodo di Kronecker. 3) Geometria analitica nello spazio Rappresentazione parametrica di una retta. Piani: equazioni parametriche ed equazione cartesiana. Rappresentazione cartesiana di una retta. Relazioni di parallelismo e di ortogonalità. 4) Sottospazi vettoriali di R^n Combinazioni lineari. Dipendenza e indipendenza lineare. Sottospazi vettoriali. Basi e dimensione. Sottospazio generato da un numero finito di vettori. Basi ortonormali in R^n e matrici ortogonali. Applicazioni lineari da R^m a R^n. Applicazione lineare associata a una matrice. Nucleo e immagine di un’applicazione lineare. Formula delle dimensioni. Matrice rappresentativa di un’applicazione lineare da R^n a R^n. Cambiamenti di base. 5) Sistemi lineari. Il metodo di Gauss. Il teorema di Cramer. Sistemi omogenei. Il teorema di Rouché-Capelli. 6) Matrici diagonalizzabili. Autovettori ed autovalori. Forme quadratiche. Coniche e quadriche.