DALMINE
Dati Generali
Periodo di attività
Syllabus
Obiettivi Formativi
La parola chiave del corso è la multidimensionalità. Dopo aver studiato, nel corso di Analisi 1, fenomeni caratterizzati da una sola variabile indipendente e da una sola variabile dipendente, lo studente verrà introdotto a situazioni, più realistiche, in cui il numero delle variabili in gioco è maggiore di uno. In questo corso egli studierà solo il caso lineare, mentre lo studio del caso non lineare sarà affrontato nel corso di Analisi 2. Alla fine del corso lo studente possederà le nozioni basilari dei numeri complessi e dell’algebra lineare; saprà applicare l’algebra lineare alla risoluzione dei sistemi lineari e allo studio della geometria in tre dimensioni.
Prerequisiti
Metodi didattici
modifiche rispetto a quanto dichiarato nel syllabus per rendere il corso e gli esami fruibili anche
secondo queste modalità.
Verifica Apprendimento
La prova d’esame vuole verificare il raggiungimento da parte dello studente degli obiettivi formativi precedentemente descritti. In particolare: - padronanza dei metodi e delle tecniche sviluppate nel corso - consapevolezza dei loro fondamenti teorici - adeguatezza del linguaggio utilizzato. La prova d’esame, che può essere sostenuta solo dagli studenti che hanno assolto l’OFA in matematica, si divide in due parti: parte A e parte B. La parte A è una prova a risposta multipla costituita da 10 domande di natura teorica oppure pratica. Ad ogni risposta corretta è attribuito 1 punto, ad ogni risposta errata è attribuito -1/3. Potrà essere stabilita una soglia minima per l’accesso alla parte B. Nel caso, ciò verrà segnalato sulla pagina e-learning del corso. La parte B consiste nella risoluzione di alcuni esercizi e nella esposizione di alcuni argomenti teorici. Nell’attribuzione del punteggio si tiene conto della correttezza, della chiarezza e della capacità di giustificare le conclusioni raggiunte. Il voto finale è la somma dei voti conseguiti nella parte A e nella parte B. La commissione si riserva inoltre di risentire qualsiasi studente dopo la correzione delle prove scritte, nel caso ritenga necessario acquisire ulteriori elementi di valutazione.
Contenuti
Somma, prodotto, coniugato, modulo, inverso e quoziente. Rappresentazione nel piano. Parte reale e parte immaginaria. Forma trigonometrica. Potenza e radice N-esima di un numero complesso. Teorema fondamentale dell’algebra.
2) Vettori e matrici
Lo spazio R^n e le sue operazioni: somma, prodotto per uno scalare, prodotto scalare. Matrici. Operazioni sulle matrici: somma, prodotto per uno scalare, prodotto di matrici. Matrici simmetriche, triangolari e diagonali. Determinante. Significato geometrico del determinante. Matrice inversa. Vettori tridimensionali: prodotto vettoriale, prodotto misto e loro significato geometrico. Caratteristica (o rango) di una matrice. Metodo di Kronecker.
3) Geometria analitica nello spazio
Rappresentazione parametrica di una retta. Piani: equazioni parametriche ed equazione cartesiana. Rappresentazione cartesiana di una retta. Relazioni di parallelismo e di ortogonalità.
4) Sottospazi vettoriali di R^n
Combinazioni lineari. Dipendenza e indipendenza lineare. Sottospazi vettoriali. Basi e dimensione. Sottospazio generato da un numero finito di vettori. Basi ortonormali in R^n e matrici ortogonali. Applicazioni lineari da R^m a R^n. Applicazione lineare associata a una matrice. Nucleo e immagine di un’applicazione lineare. Formula delle dimensioni. Matrice rappresentativa di un’applicazione lineare da R^n a R^n. Cambiamenti di base.
5) Sistemi lineari. Il metodo di Gauss. Il teorema di Cramer. Sistemi omogenei. Il teorema di Rouché-Capelli.
6) Matrici diagonalizzabili. Autovettori ed autovalori. Forme quadratiche. Coniche e quadriche.